Hiệu ứng phân cực tuyến tính dạng chữ thập tác dụng lên một vòng các hạt thử.Hiệu ứng phân cực tuyến tính dạng chéo tác dụng lên một vòng các hạt thử.

Để hiểu được tính chất của sóng hấp dẫn bằng cách thăm dò, có thể tưởng tượng trong một khu vực không-thời gian phẳng có một tập hợp các hạt thử đứng yên tạo thành một bề mặt phẳng. Khi sóng hấp dẫn truyền theo phương vuông góc với mặt phẳng này đi qua các hạt nó kéo giãn không gian và thời gian theo một hướng và nén không gian và thời gian theo hướng vuông góc (ảnh động bên phải). Diện tích bao quanh bởi các hạt thử nghiệm là không thay đổi, và các hạt không dịch chuyển theo hướng chuyển động của sóng (tức là chúng không bật ra khỏi bề mặt phẳng).[22]:209-210 Khi khoảng cách giữa các hạt theo phương dọc là lớn nhất thì khoảng cách giữa các hạt theo phương ngang là nhỏ nhất và ngược lại khoảng thời gian di chuyển giữa hai hạt theo phương ngang là lớn nhất và theo phương dọc là ít nhất.[14]

Hai hình bên cạnh minh họa phóng đại sự dao động của các hạt vì biên độ sóng hấp dẫn thực sự là rất nhỏ. Tuy nhiên chúng cho phép hình dung ra kiểu dao động đặc trưng của sóng hấp dẫn phát ra từ hai vật thể quay trên quỹ đạo hình tròn. Trong trường hợp này, biên độ của sóng hấp dẫn không thay đổi, nhưng mặt phẳng phân cực (hay phương dao động) thay đổi hay quay với chu kỳ bằng hai lần chu kỳ quỹ đạo của hai vật thể trong nguồn. Do đó, kích thước của sóng hấp dẫn (biến dạng tuần hoàn của không thời gian) thay đổi theo thời gian, như thể hiện trong các hình ảnh động.[23] Nếu quỹ đạo của hai vật thể là hình elip, thì biên độ của sóng hấp dẫn cũng sẽ thay đổi theo thời gian như được miêu tả bằng công thức tứ cực của Einstein.[2]

Giống như các sóng khác, sóng hấp dẫn có một số đặc điểm sau:[22]:203-204

• Biên độ: Thường được ký hiệu bằng h {\displaystyle h} , đại lượng này biểu thị độ lớn của sóng — phần bị dãn ra hay nén lại trong ảnh động.[24][Ct 1] Biên độ minh họa ở đây có giá trị gần bằng h = 0 , 5 {\displaystyle h=0,5} (hay 50%). Sóng hấp dẫn đi qua Trái Đất có biên độ nhỏ hơn hàng tỷ nghìn tỷ lần minh họa này — h ≈ 10 − 20 {\displaystyle h\approx 10^{-20}} .[15] Chú ý rằng đại lượng này không giống với cái gọi là biên độ như của sóng điện từ, mà bằng d h d t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} t}}} . Các nhà vật lý thường dùng h với ý nghĩa là biến dạng của sóng hấp dẫn (gravitational wave strain).
• Tần số: Thường ký hiệu bằng f, đây là tần số mà sóng dao động (1 chia cho lượng thời gian giữa hai lần giãn và nén liên tiếp)
• Bước sóng: Thường ký hiệu bằng λ {\displaystyle \lambda } , đây là khoảng cách dọc theo phương truyền sóng giữa hai điểm có độ dãn hoặc độ nén lớn nhất.
• Tốc độ: Đây là tốc độ mà tại một điểm trên sóng (ví dụ, điểm tại độ giãn hay độ nén là lớn nhất) lan truyền. Đối với sóng hấp dẫn có biên độ nhỏ, tốc độ này bằng tốc độ ánh sáng, c {\displaystyle c} .[14]

Từ những đại lượng trên có thể tính toán ra độ sáng của sóng hấp dẫn bằng cách tính đạo hàm bậc ba theo thời gian đối với công thức tứ cực.[14]

Tốc độ, bước sóng, và tần số của sóng hấp dẫn có liên hệ với nhau bởi phương trình c = λ f, giống như phương trình của sóng ánh sáng. Ví dụ, ảnh động minh họa ở đây sóng hấp dẫn dao động động khoảng 1 lần trong 2 giây. Tương ứng với sóng này có tần số 0,5 Hz, và bước sóng vào khoảng 600.000 km, hay 47 lần đường kính Trái Đất.

Trong ví dụ vừa nêu, chúng ta đã giả sử một số điều đặc biệt về sóng. Chúng ta giả sử rằng sóng hấp dẫn là phân cực tuyến tính, hay phân cực "cộng", viết là h + {\displaystyle h_{\,+}} . Sự phân cực của sóng hấp dẫn giống như phân cực của sóng ánh sáng ngoại trừ rằng sóng hấp dẫn phân cực ở góc 45 độ, như ngược lại đối với 90 độ. Đặc biệt, nếu chúng ta có sóng hấp dẫn phân cực "chéo", h × {\displaystyle h_{\,\times }} , hiệu ứng tác dụng lên các hạt thử về cơ bản là như nhau, nhưng góc quay đi 45 độ, như được chỉ ra ở hình thứ hai. Giống như phân cực ở sóng ánh sáng, sự phân cực ở sóng hấp dẫn cũng được biểu diễn theo kiểu sóng phân cực tròn. Sóng hấp dẫn bị phân cực bởi vì bản chất của nguồn phát ra chúng.[22]:209-210 Sự phân cực phụ thuộc vào góc từ nguồn, mà được trình bày ở phần tiếp theo.

Ước lượng giới hạn trên của biên độ

Một hệ nguồn điển hình có các thành phần tứ cực Q i j {\displaystyle Q_{ij}} với độ lớn M R 2 {\displaystyle MR^{2}} , với M và R lần lượt là khối lượng và bán kính của hệ. Nếu chuyển động bên trong nguồn không có tính đối xứng cầu, thì đạo hàm bậc hai theo thời gian của thành phần tứ cực d 2 Q i j / d t 2 {\displaystyle d^{2}Q_{ij}/dt^{2}} sẽ có độ lớn M v 2 {\displaystyle Mv^{2}} , trong đó v 2 {\displaystyle v^{2}} là thành phần không đối xứng cầu của bình phương vận tốc bên trong nguồn phát ra sóng hấp dẫn. Khi thay vào công thức xác định biên độ sóng hấp dẫn từ các thành phần tứ cực ta có ước lượng biên độ[25]:đoạn 4.1.2

h < ϕ i n t ϕ e x t {\displaystyle h<\phi _{int}\phi _{ext}} h ∼ 2 M v 2 r {\displaystyle h\sim {\frac {2Mv^{2}}{r}}} .

Lưu ý ở đây M r {\displaystyle {\frac {M}{r}}} là thế hấp dẫn Newton tại khoảng cách r nằm bên ngoài nguồn sóng, và tỉ số ϵ {\displaystyle \epsilon } của biên độ sóng với thế hấp dẫn bên ngoài ϕ e x t {\displaystyle \phi _{ext}} của nguồn tại khoảng cách r đến quan sát viên là

ϵ ∼ 2 v 2 {\displaystyle \epsilon \sim 2v^{2}} .

Theo định lý virial đối với hệ hấp dẫn, tỷ số này không thể vượt quá giá trị lớn nhất của thế hấp dẫn Newton đối với bên trong nguồn sóng ϕ i n t {\displaystyle \phi _{int}} . Kết quả này rất thuận tiện và thiết thực đối với phương pháp ước tính giới hạn trên của biên độ sóng hấp dẫn. Đối với một sao neutron nằm trong cụm thiên hà ở chòm sao Xử Nữ thì biên độ bức xạ hấp dẫn nó phát ra có giới hạn trên xấp xỉ bằng 5×10-22. Trong hàng thập kỷ, các nhà khoa học đã sử dụng cách này để ước tính độ nhạy tối thiểu cho các máy dò sóng hấp dẫn phải bằng hoặc nhỏ hơn ×10-21.[25]:đoạn 4.1.2

Ước lượng tần số

Trong một số trường hợp, tần số sóng hấp dẫn bị ảnh hưởng bởi chuyển động của nguồn, ví dụ, tần số của sóng hấp dẫn phát ra từ sao xung bằng hai lần tần số tự quay của ngôi sao.[25]:Đoạn 4.2.2 Nhưng đối với hầu hết các hệ thống sao đôi, tần số bức xạ hấp dẫn có liên quan đến tần số động lực tự nhiên của hệ hấp dẫn được định nghĩa là[25]:Đoạn 4.1.3[26]:Đoạn 2.1:

f 0 = ρ ¯ 4 π {\displaystyle f_{0}={\sqrt {{\bar {\rho }} \over 4\pi }}}

Ở đây ρ ¯ {\displaystyle {\bar {\rho }}} là mật độ trung bình của khối lượng - năng lượng của nguồn sóng. Nó có cùng độ lớn với tần số quỹ đạo của hệ sao đôi (binary orbital frequency-tương đương với chu kỳ quỹ đạo) và tần số xung nhịp cơ bản (fundamental pulsation frequency) của vật thể.

Nếu ước lượng nguồn sóng phân bố trong mặt cầu với khối lượng M và bán kính R thì ρ ¯ = 3 M 4 π R 3 {\displaystyle {\bar {\rho }}={\frac {3M}{4\pi R^{3}}}} . Đối với một sao neutron có khối lượng 1,4 lần khối lượng Mặt Trời, bán kính bằng 10 km, tần số tự nhiên của nó sẽ là 1,9 kHz; đối với một lỗ đen có khối lượng 10 lần khối lượng của mặt trời, bán kính chân trời sự kiện bằng 30 km, tần số tự nhiên của nó bằng 1 kHz; và cho lỗ đen siêu khối lượng bằng 2,5 × 106 lần khối lượng của Mặt Trời, tần số tự nhiên của nó là 4 milliHertz, vì mật độ trung bình của nó thấp hơn.[25]:Đoạn 4.1.3 Nói chung, việc ước lượng tần số sóng hấp dẫn từ tần số tự nhiên của nguồn là đúng, về bản chất đó là một phương pháp thô cho phép ước lượng một cách nhanh chóng, cung cấp cho việc tính giá trị giới hạn trên của tần số đúng của nguồn sóng hấp dẫn.[27]:1